Flashcard FC628260
Se P é o centro da homotetia que envia uma circunferência de raio R1 em outra de raio R2, qual a relação entre PO1 e PO2?
Geometria Plana
NC UFPR (FUNPAR) · 2022
Se P é o centro da homotetia que envia uma circunferência de raio R1 em outra de raio R2, qual a relação entre PO1 e PO2?
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Resposta
\( \dfrac{PO_1}{PO_2}=\dfrac{R_1}{R_2}\)Como P é o centro da homotetia, P, O1 e O2 são colineares, seja a=PO1 e b=PO2.
Como O1 está entre P e O2, tem-se O1O2 = R1+R2 = b - a, e ainda a = (R1/R2) b.
Substituindo, b(1 - R1/R2) = R1+R2, obtém-se b = R2(R1+R2)/(R2-R1) e a = R1(R1+R2)/(R2-R1).
A distância até o ponto de tangência Q é PQ = PO1 + O1Q = a + R1, que simplifica para \(PQ=\dfrac{2R_1R_2}{R_2-R_1}\).
Exemplo:
Se R1 = 3 e R2 = 5, então
\(b=\dfrac{5(3+5)}{5-3}=\dfrac{40}{2}=20\), \(a=\dfrac{3(3+5)}{5-3}=\dfrac{24}{2}=12\).
Logo \(PQ=a+R1=12+3=15\), também obtido por \(PQ=\dfrac{2\cdot3\cdot5}{5-3}=\dfrac{30}{2}=15\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/626279
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