Como calcular a área de um polígono regular inscrito em uma circunferência de raio r com n lados?

Resposta

\(A=\tfrac{1}{2}nr^{2}\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{n}\right)\)

Divide-se o polígono em n triângulos isósceles com ângulo central \(\tfrac{2\pi}{n}\), cada um com área \(\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{n}\right)\), e multiplica-se por n.
Para \(n\to\infty\), a área tende a \(\pi r^{2}\).

Exemplo:
Se \(r=3\) e \(n=6\) (hexágono inscrito),
\(A=\tfrac{1}{2}\cdot6\cdot3^{2}\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{6}\right)=3\cdot9\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=27\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{27\sqrt3}{2}\,.\)