Qual é a primitiva de \(\int e^{ax}\,dx\) para \(a\in\mathbb{R}\)?

Resposta

\(\displaystyle \int e^{ax}\,dx=\frac{e^{ax}}{a}+C\) para \(a\neq 0\), e se \(a=0\) então \(\int e^{0x}\,dx=\int 1\,dx=x+C\).

Usa-se a substituição \(u=ax\), com \(du=a\,dx\), logo \(dx=\frac{du}{a}\).
Assim \(\int e^{ax}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\int e^{u}\,du=\frac{e^{u}}{a}+C=\frac{e^{ax}}{a}+C\).

Exemplo:
Calcule \(\int e^{-2x}\,dx\).
Faça \(u=-2x\), então \(du=-2\,dx\) e \(dx=\frac{du}{-2}\).
\(\displaystyle \int e^{-2x}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{-2}=-\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du=-\tfrac{1}{2}e^{u}+C=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}+C\).