Como calcular a integral dupla de uma função que é soma de termos dependentes só de x e só de y sobre um retângulo, usando integrais iteradas?

Integre primeiro em uma variável, tratando a outra como constante, e use a linearidade das integrais.

Para \(R=[a,b]\times[c,d]\) e \(f(x,y)=h(x)+g(y)\):
\(\displaystyle \iint_R f(x,y)\,dA=\int_{c}^{d}\Big(\int_{a}^{b}(h(x)+g(y))\,dx\Big)dy\)
\(\displaystyle =\int_{c}^{d}\Big(\int_{a}^{b}h(x)\,dx + g(y)(b-a)\Big)dy\), depois integre em \(y\).

Exemplo:
Se \(f(x,y)=2x+3y^2\) e \(R=\{1\le x\le3,\;0\le y\le2\}\):
\(\displaystyle \int_{1}^{3}(2x+3y^2)\,dx=\Big[x^2\Big]_{1}^{3}+3y^2(3-1)=8+6y^2\)
\(\displaystyle \iint_R f\,dA=\int_{0}^{2}(8+6y^2)\,dy=\Big[8y+2y^3\Big]_{0}^{2}=16+16=32\)