Flashcard FC628293
Como aplicar o limite \(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1\) para calcular \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{bx}\)?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Como aplicar o limite \(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1\) para calcular \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{bx}\)?
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Resposta
\(\dfrac{a}{b}\)
\(\)Faça \(t=ax\), então \(t\to0\) quando \(x\to0\). Reescreva \(\dfrac{\sin(ax)}{bx}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{\sin(ax)}{ax}\). Como \(\lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1\), segue que \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(ax)}{bx}=\dfrac{a}{b}\), com \(b\neq0\).
Exemplo:
Calcule \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{4x}\).
\(\dfrac{\sin(3x)}{4x}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{\sin(3x)}{3x}\), tomando \(t=3x\) obtemos \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{3x}=1\), portanto o limite é \(\dfrac{3}{4}\).
\(\)Faça \(t=ax\), então \(t\to0\) quando \(x\to0\). Reescreva \(\dfrac{\sin(ax)}{bx}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{\sin(ax)}{ax}\). Como \(\lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1\), segue que \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(ax)}{bx}=\dfrac{a}{b}\), com \(b\neq0\).
Exemplo:
Calcule \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{4x}\).
\(\dfrac{\sin(3x)}{4x}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{\sin(3x)}{3x}\), tomando \(t=3x\) obtemos \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{3x}=1\), portanto o limite é \(\dfrac{3}{4}\).
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