Qual é a fórmula da integração por partes e como escolher as partes f(x) e g'(x)?

\( \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\)
Escolha f(x) como a parte que simplifica ao derivar (ex.: polinômio) e g'(x) como a parte que se integra facilmente (ex.: exponencial, seno, cosseno).

Exemplo:
Calcular \( \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx \).
Escolha \(f(x)=x\), \(g'(x)=e^{x}\), então \(f'(x)=1\), \(g(x)=e^{x}\).
Pela fórmula, \( \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C\).
Avaliando de 0 a 1, \( \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr)\Big|_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1\).