Se u(x) é diferenciável, qual é uma primitiva de 2 u(x) u'(x)?

u(x)^2 + C

Pela regra da cadeia, \(\frac{d}{dx}\big(u(x)^2\big)=2u(x)u'(x)\), portanto \(\int 2u(x)u'(x)\,dx=u(x)^2+C\).

Exemplo:
\(u(x)=\ln x\), então \(u'(x)=1/x\).
\(\displaystyle\int 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx=\int \frac{2\ln x}{x}\,dx=(\ln x)^2+C\).