Flashcard FC628300
Quais condições devem ser verificadas para que um subconjunto de M^{n,n} seja um subespaço vetorial?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Quais condições devem ser verificadas para que um subconjunto de M^{n,n} seja um subespaço vetorial?
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Resposta
Fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e conter a matriz nula.Explicação:
Um subconjunto não vazio S de M^{n,n} é subespaço se, para quaisquer \(A,B\in S\) e qualquer escalar \(k\), tivermos \(A+B\in S\) e \(kA\in S\), e também se a matriz zero \(0\) pertence a S. Essas propriedades garantem que S herda a estrutura vetorial de M^{n,n}.
Exemplo: o conjunto das matrizes diagonais é subespaço.
Se \(A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&4\end{pmatrix}\), então \(A+B=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&7\end{pmatrix}\) é diagonal.
Para o escalar \(k=5\), \(kA=\begin{pmatrix}10&0\\[4pt]0&15\end{pmatrix}\) é diagonal.
A matriz nula \(\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\) pertence ao conjunto, logo atende às condições.
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