Como determinar a dimensão de um subespaço gerado por um conjunto de vetores?

A dimensão é o número de vetores em uma base; reduza o gerador a um conjunto de vetores linearmente independentes e conte-os.

Explicação:
Para achar a dimensão de um subespaço gerado por vetores, primeiro identifique quais vetores são combinações lineares dos outros, assim reduz-se o gerador a um conjunto que ainda gera o subespaço.
Em seguida verifique que esse conjunto reduzido é linearmente independente, resolvendo a combinação linear \(a_1 v_1+\cdots+a_k v_k=0\) e mostrando que todos os coeficientes são zero. O número \(k\) de vetores independentes é a dimensão.

Exemplo:
Considere \(u_1=(1,0,1),\ u_2=(0,1,1),\ u_3=(1,1,2)\) em \(\mathbb{R}^3\).
Note que \(u_3=u_1+u_2\), então \(\text{span}\{u_1,u_2,u_3\}=\text{span}\{u_1,u_2\}\).
Verifique a independência de \(u_1,u_2\):\\(1) \(a u_1 + b u_2 = 0\) implica \(a(1,0,1)+b(0,1,1)=(0,0,0)\).
Das coordenadas obtemos \(a=0,\; b=0,\; a+b=0\), logo \(a=b=0\).
Portanto \(u_1\) e \(u_2\) são independentes e formam uma base do subespaço, assim a dimensão é \(2\).