Flashcard FC628302
Se det(A) ≠ 0 para A ∈ M2(ℝ), o que isso implica sobre o núcleo e a sobrejetividade da transformação linear associada?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2017
Se det(A) ≠ 0 para A ∈ M2(ℝ), o que isso implica sobre o núcleo e a sobrejetividade da transformação linear associada?
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Resposta
Implica que N(T) = {0} e que T é sobrejetiva (portanto invertível).Explicação, se det(A) ≠ 0 então A é invertível, assim existe \(A^{-1}\). Logo, se \(Ax=0\) então \(x=A^{-1}0=0\), portanto \(N(T)=\{0\}\). Para qualquer \(b\in\mathbb R^2\), \(x=A^{-1}b\) é solução de \(Ax=b\), logo T é sobrejetiva e bijetiva.
Exemplo: seja \(C=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\).
\( \det(C)=2\cdot1-3\cdot1=-1\neq0\), então C é invertível.
Resolver \(Cx=0\): \( \begin{cases}2x_1+3x_2=0\\[4pt]x_1+x_2=0\end{cases}\). Da segunda equação \(x_1=-x_2\). Substituindo na primeira, \(2(-x_2)+3x_2=x_2=0\), então \(x_2=0\) e \(x_1=0\). Assim \(N(T)=\{0\}\).
Além disso, \(C^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\), logo para todo \(b\) existe \(x=C^{-1}b\) tal que \(Cx=b\), mostrando a sobrejetividade.
Veja como foi cobrado:
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