Flashcard FC628303
Como obter o núcleo de uma transformação linear dada por sua matriz, verificar se um vetor pertence ao núcleo, e determinar a dimensão da imagem?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2015
Como obter o núcleo de uma transformação linear dada por sua matriz, verificar se um vetor pertence ao núcleo, e determinar a dimensão da imagem?
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Resposta
Resolva \(A x=0\) para achar \(\ker T\), calcule \(T(v)=A v\) para testar pertença, e use \(\dim\mathrm{Im}T=n-\dim\ker T\) ou as colunas independentes de \(A\) para obter \(\mathrm{Im}T\).Para encontrar o núcleo, resolva o sistema linear \(A x=0\), determine a base dos vetores solução, e assim a dimensão de \(\ker T\).
Para verificar se um vetor \(v\) pertence ao núcleo, compute \(A v\), se \(A v=0\) então \(v\in\ker T\).
Para a imagem, considere as colunas de \(A\), extraia uma base por independência linear, e aplique o teorema núcleo-imagem \(\dim\mathrm{Im}T=n-\dim\ker T\).
Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\[2pt]0&1&-1\end{pmatrix}\). Resolver \(A(x,y,z)^T=0\) dá
\(x+2z=0,\; y-z=0\Rightarrow x=-2z,\; y=z\).
Logo \(\ker T=\mathrm{span}\{(-2,1,1)\}\), e \(\dim\ker T=1\).
Verificação, \(A(-2,1,1)^T=(0,0)^T\).
Pela dimensão, \(\dim\mathrm{Im}T=3-1=2\). As colunas são \((1,0),(0,1),(2,-1)\), e como \((2,-1)=2(1,0)-1(0,1)\), uma base da imagem é \(\{(1,0),(0,1)\}\).
Veja como foi cobrado:
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