Como provar que um conjunto S de vetores é uma base do espaço vetorial V?

Verificar que Span(S)=V e que S é linearmente independente.

Para gerar V, mostre que todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S, ou seja, que qualquer \(v\in V\) satisfaz \(v=\sum_i c_i s_i\) com \(s_i\in S\).
Para independência linear, mostre que a única solução do sistema \(\sum_i a_i s_i=0\) é \(a_i=0\) para todo i.

Exemplo:
Seja \(V=\mathrm{span}\{b_1,b_2,b_3\}\) com \(b_1=(1,2,3),\;b_2=(0,1,1),\;b_3=(2,5,7)\).
Observe que \(b_3=2b_1+b_2\), portanto qualquer combinação de \(b_1,b_2,b_3\) é combinação de \(b_1,b_2\), logo \(\mathrm{Span}\{b_1,b_2\}=V\).
Para independência, suponha \(\alpha b_1+\beta b_2=0\). Pela primeira coordenada vem \(\alpha\cdot1+\beta\cdot0=0\), então \(\alpha=0\). Pela segunda coordenada \(2\alpha+\beta=0\) e com \(\alpha=0\) segue \(\beta=0\). Assim \(\{b_1,b_2\}\) é uma base de V.