Como, logicamente, derivar \(\exists x (A(x)\land C(x))\) a partir de \(\exists x (A(x)\land B(x))\) e \(\forall x (B(x)\to C(x))\)?

Extraia um indivíduo da existencial, aplique a universal para obter \(C(a)\), e reintroduza a existencial: \(\exists x (A(x)\land C(x))\).

Seja dado \( \exists x (A(x)\land B(x))\). Escolha um elemento concreto \(a\) tal que \(A(a)\land B(a)\). Da universal \( \forall x (B(x)\to C(x))\) obtenha a instância \(B(a)\to C(a)\). Aplicando modus ponens a \(B(a)\) e \(B(a)\to C(a)\), conclui-se \(C(a)\). Combinando \(A(a)\) e \(C(a)\) tem-se \(A(a)\land C(a)\), portanto por existencialização \( \exists x (A(x)\land C(x))\).

Exemplo:
Premissas:
\( \exists x (R(x)\land C(x))\) — existe pelo menos um relatório que foi corrigido.
\( \forall x (C(x)\to P(x))\) — todo relatório corrigido foi publicado.
Passos:
1) Instanciar a existencial: escolha \(a\) com \(R(a)\land C(a)\).
2) Instanciar a universal: \(C(a)\to P(a)\).
3) Modus ponens: de \(C(a)\) e \(C(a)\to P(a)\) obtemos \(P(a)\).
4) Portanto \(R(a)\land P(a)\), e assim \( \exists x (R(x)\land P(x))\), existe pelo menos um relatório corrigido que foi publicado.