Flashcard FC628372
Se \(a_k=1-c_k\) com \(c_k>0\) para \(k=0,1,\dots,n\), quantos termos há e qual a relação entre \(\sum_{k=0}^n a_k\) e \(n+1\)?
Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Se \(a_k=1-c_k\) com \(c_k>0\) para \(k=0,1,\dots,n\), quantos termos há e qual a relação entre \(\sum_{k=0}^n a_k\) e \(n+1\)?
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Resposta
Há \(n+1\) termos, e \(\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kComo os índices vão de \(0\) a \(n\), existem \(n+1\) termos.
Como cada \(c_k>0\), tem-se \(a_k=1-c_k<1\) para todo \(k\).
Logo \(\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k=(n+1)-\sum_{k=0}^n c_k<(n+1)\).
Exemplo:
Considere \(a_k=1-\dfrac{1}{3(k+1)}\), para \(k=0,1,2\) (\(n=2\)).
\(a_0=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3},\quad a_1=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6},\quad a_2=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}.\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^2 a_k=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{43}{18}\approx2{,}388<3=(n+1).\)
De modo geral, \(\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k=(n+1)-\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{3(k+1)}
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/626391
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