Como se encontra o conjunto de termos comuns a duas progressões aritméticas?

Resolver as congruências \(x\equiv a_1\pmod{r_1}\) e \(x\equiv a_2\pmod{r_2}\), obtendo uma única congruência módulo o mmc\( (r_1,r_2) \).

Escreva os termos gerais \(x=a_1+r_1n\) e \(x=a_2+r_2m\). Transforme em congruências, resolva o sistema por substituição ou pelo Teorema Chinês dos Restos, e use \(\mathrm{mmc}(r_1,r_2)\) para achar a progressão dos termos comuns.

Exemplo: sequências \(3,7,11,15,\dots\) ( \(x=3+4n\) ) e \(4,9,14,19,\dots\) ( \(x=4+5m\) ).
Temos \(x\equiv3\pmod4\) e \(x\equiv4\pmod5\). Colocando \(x=3+4k\) e substituindo, \(3+4k\equiv4\pmod5\Rightarrow4k\equiv1\pmod5\). Como \(4^{-1}\equiv4\pmod5\), segue \(k\equiv4\pmod5\), logo \(k=4+5t\).
Assim \(x=3+4(4+5t)=19+20t\). Os termos comuns são \(19,39,59,\dots\), ou seja \(x\equiv19\pmod{20}\).