Como determinar dois capitais aplicados a juros simples sabendo a soma dos capitais e a soma dos juros?

Montando e resolvendo um sistema linear:
Use \(x+y=S\) e \(i_1 t_1 x + i_2 t_2 y = J_{\text{total}}\), resolva para \(x\) e \(y\).

Explicação e exemplo:
Dados: soma dos capitais \(S\), taxas e prazos transformados em anos \(i_1,t_1\) e \(i_2,t_2\), soma dos juros \(J_{\text{total}}\).
Formule o sistema
\(x+y=S\)
\(i_1 t_1 x + i_2 t_2 y = J_{\text{total}}\)
Substitua \(x=S-y\) ou elimine uma variável e resolva linearmente para obter \(y\) e \(x\).

Exemplo:
Suponha \(S=60{,}000\), taxa anual \(i=0{,}12\), prazos 12 meses e 6 meses, juros totais \(J_{\text{total}}=5{,}700\).
Equações:
\(x+y=60{,}000\)
\(0{,}12\cdot 1\cdot x + 0{,}12\cdot \tfrac{6}{12}\cdot y =5{,}700\), isto é \(0{,}12x+0{,}06y=5{,}700\).
Substituindo \(x=60{,}000-y\):
\(0{,}12(60{,}000-y)+0{,}06y=5{,}700\)
\(7{,}200-0{,}12y+0{,}06y=5{,}700\)
\(-0{,}06y=-1{,}500\Rightarrow y=25{,}000\), logo \(x=35{,}000\).
Juros: \(J_1=0{,}12\cdot35{,}000=4{,}200\), \(J_2=0{,}06\cdot25{,}000=1{,}500\).
Montantes: \(M_1=35{,}000+4{,}200=39{,}200\), \(M_2=25{,}000+1{,}500=26{,}500\).
Diferença dos montantes \(=39{,}200-26{,}500=12{,}700\).