Como montar a equação para determinar o tempo n em juros compostos quando o lucro líquido, após imposto de τ sobre os juros, deve ser igual ao capital inicial?

(1-\u03C4)\big((1+r)^n-1\big)=1, portanto (1+r)^n=\dfrac{2-\u03C4}{1-\u03C4}.

Explicação completa:
O montante é \(M=C(1+r)^n\), os juros são \(M-C=C\big((1+r)^n-1\big)\), o imposto é \(\u03C4\) vezes os juros, logo o lucro líquido é \((1-\u03C4)C\big((1+r)^n-1\big)\). Exigindo que esse lucro líquido seja igual a \(C\), cancelando \(C\), obtemos \((1-\u03C4)\big((1+r)^n-1\big)=1\), isolando, \((1+r)^n=1+\dfrac{1}{1-\u03C4}=\dfrac{2-\u03C4}{1-\u03C4}\).

exemplo:
Suponha taxa mensal \(r=2\%\) e imposto \(\u03C4=15\%\). Então
\( (1+r)^n=\dfrac{2-0{,}15}{1-0{,}15}=\dfrac{1{,}85}{0{,}85}\approx2{,}17647\).
Logo \(n=\dfrac{\ln(2{,}17647)}{\ln(1{,}02)}\approx39{,}3\), ou seja, aproximadamente 40 meses.