Como determinar o tempo n em juros compostos para que um capital fique k vezes maior, sabendo que ele ficou m vezes maior em t períodos?

Use logaritmos:
\( (1+i)^t=m \Rightarrow \ln(1+i)=\dfrac{\ln m}{t}\), então \( n=\dfrac{\ln k}{\ln(1+i)}\).

Passo a passo, substitua \( \ln(1+i)\) encontrado, fica \( n=\dfrac{\ln k}{\ln m/t} = t\cdot\dfrac{\ln k}{\ln m}\).

Exemplo:
Suponha que um capital dobrou em 24 meses, queremos o tempo para que triplique.
\( (1+i)^{24}=2 \Rightarrow \ln(1+i)=\dfrac{\ln2}{24}\).
Para triplicar, \(3=(1+i)^{n}\Rightarrow n=\dfrac{\ln3}{\ln(1+i)}=24\cdot\dfrac{\ln3}{\ln2}\).
Como \(\dfrac{\ln3}{\ln2}\approx1{,}585\), vem \( n\approx24\times1{,}585=38{,}04\) meses.