Como se calcula o montante final de uma dívida a juros compostos quando houve um pagamento parcial em data intermediária?

Capitaliza-se o principal até a data do pagamento, subtrai-se o pagamento para obter o saldo, e capitaliza-se esse saldo até a liquidação.

Procedimento e fórmulas,
1) \(M_1 = P(1+i)^{n_1}\) (montante até o pagamento)
2) \(S = M_1 - K\) (saldo após o pagamento \(K\))
3) \(M_{final} = S(1+i)^{n_2}\) (montante na liquidação)

Exemplo,
Suponha \(P=10.000\), \(i=2\%\) ao mês, pagamento \(K=2.500\) após 4 meses, liquidação 2 meses depois:
\(M_1 = 10000(1+0{,}02)^4 = 10000(1{,}02)^4 = 10.824{,}3216\)
\(S = 10.824{,}3216 - 2.500 = 8.324{,}3216\)
\(M_{final} = 8.324{,}3216(1+0{,}02)^2 = 8.324{,}3216(1{,}0404) = 8.660{,}6242 \approx R\$ 8.660,62