Como se obtém a taxa efetiva anual a partir de uma taxa por semestre e como comparar os fatores de acumulação?

i. Resposta direta
Calcule a taxa efetiva anual por \(i_{ef}=(1+i_s)^2-1\), onde \(i_s\) é a taxa por semestre. Compare fatores por ano usando \( (1+i_s)^{2N}=(1+i_{ef})^N\) e \( (1+i_a)^N\), a opção com maior base \(1+i\) rende mais para todo N.

Exemplo
Dados: taxa por semestre \(i_s=0.04\) (4% por semestre) e taxa anual composta anualmente \(i_a=0.075\) (7,5% a.a.).

Cálculo da taxa efetiva anual:
\(i_{ef}=(1+0.04)^2-1=1.0816-1=0.0816=8{,}16\%\).

Fatores de acumulação:
\( \text{Semestral: }(1+0.04)^{2N}=(1.0816)^N\)
\( \text{Anual: }(1+0.075)^N=(1.075)^N\)

Como \(1.0816>1.075\), a capitalização semestral rende mais para qualquer \(N\).

Exemplo numérico, capital inicial \(1000\), \(N=3\) anos:
\( \text{Semestral: }1000\cdot(1.04)^{6}\approx1000\cdot1.264\approx1259\) (aprox).
\( \text{Anual: }1000\cdot(1.075)^{3}\approx1000\cdot1.242\approx1242\) (aprox).
Portanto a opção com capitalização semestral é superior neste caso.