No sistema Price, como se relaciona a amortização do k-ésimo pagamento com a amortização inicial A1 e a taxa de juros i?

Resposta

A relação é \(A_k=A_1(1+i)^{k-1}\), com \(A_1=P-i\cdot PV\) e \(P=\dfrac{PV}{a_n}\), onde \(a_n=\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\).

Explicação: no sistema Price a prestação \(P\) é constante, os juros do período \(t\) são \(J_t=i\cdot S_{t-1}\), a amortização é \(A_t=P-J_t\), assim as amortizações formam uma progressão geométrica de razão \(1+i\), por isso \(A_k=A_1(1+i)^{k-1}\).

exemplo: Empréstimo \(PV=50.000\), \(n=12\), \(i=0{,}02\).
\(a_{12}=\dfrac{1-(1{,}02)^{-12}}{0{,}02}\). Como \((1{,}02)^{12}\approx1{,}268\), tem-se \((1{,}02)^{-12}\approx0{,}7887\), logo \(a_{12}=(1-0{,}7887)/0{,}02\approx10{,}565\).
Prestação \(P=\dfrac{50.000}{10{,}565}\approx4.732\).
Juros 1.º mês \(J_1=0{,}02\times50.000=1.000\), então \(A_1=P-J_1\approx4.732-1.000=3.732\).
Amortização 2.º mês \(A_2=A_1(1{,}02)\approx3.732\times1{,}02\approx3.806\).
Saldo após 2 pagamentos \(=50.000-3.732-3.806\approx42.462\).