Como a contrapositiva de uma implicação universal permite inferir que um elemento não pertence a determinada classe?

Se \( \forall x\,(A(x)\to B(x)) \), então pela contrapositiva temos \( \forall x\,(\neg B(x)\to\neg A(x)) \).
Portanto, se existe \(x\) tal que \(\neg B(x)\), esse \(x\) também satisfaz \(\neg A(x)\).

Explicação completa:
Considere uma implicação universal na forma \( \forall x\,(A(x)\to B(x)) \).
Aplicando contraposição, obtemos \( \forall x\,(\neg B(x)\to\neg A(x)) \).
Se ainda sabemos que existe um elemento com \(\neg B\), ou seja \( \exists x\,(C(x)\land\neg B(x)) \) para alguma propriedade \(C\), então para esse mesmo elemento vale \(\neg A(x)\).
Combinando, concluímos \( \exists x\,(C(x)\land\neg A(x)) \).

exemplo:
Defina as propriedades: Eng(x) = "é engenheiro", Tec(x) = "é técnico", Reg(x) = "está registrado", Mor(x) = "mora no condomínio".
Premissas: \( \forall x\,(\text{Eng}(x)\to\text{Reg}(x)) \) e \( \forall x\,(\text{Tec}(x)\to\text{Reg}(x)) \).
Suponha que existe alguém no condomínio que não está registrado: \( \exists x\,(\text{Mor}(x)\land\neg\text{Reg}(x)) \).
Pela contrapositiva de cada implicação temos \( \neg\text{Reg}(x)\to\neg\text{Eng}(x) \) e \( \neg\text{Reg}(x)\to\neg\text{Tec}(x) \).
Logo, existe alguém que mora no condomínio e que não é engenheiro e não é técnico, formalmente
\( \exists x\,(\text{Mor}(x)\land\neg\text{Eng}(x)\land\neg\text{Tec}(x)) \).