Sejam X a soma dos primeiros n-1 resultados e Y o resultado final, independente, com P(Y par)=P(Y ímpar)=1/2. Em função de p = P(X par), qual é P(X+Y par)?

1/2

Explicação:
Pela probabilidade total, \(P(X+Y\ \text{par})=P(Y\ \text{par})P(X\ \text{par})+P(Y\ \text{ímpar})P(X\ \text{ímpar})\).
Como \(P(Y\ \text{par})=P(Y\ \text{ímpar})=\tfrac{1}{2}\) e \(P(X\ \text{ímpar})=1-p\), obtém-se \( \tfrac{1}{2}p+\tfrac{1}{2}(1-p)=\tfrac{1}{2}.\)

Exemplo:
Considere duas moedas justas, X é a paridade do número de caras nas duas primeiras, logo \(p=P(X\ \text{par})=\tfrac{1}{2}\). Y é uma terceira moeda, com \(P(Y\ \text{par})=P(Y\ \text{ímpar})=\tfrac{1}{2}\).
Então \(P(\text{soma par})=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.\)