Como calcular a probabilidade de obter exatamente k itens de um tipo ao escolher n elementos sem reposição de uma população com K desse tipo em N?

Usa-se a distribuição hipergeométrica:
\(P(X=k)=\dfrac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}\)

Esta fórmula conta as formas de escolher k do tipo desejado e n−k dos demais, dividindo pelo total de escolhas.

Exemplo:
População: 8 bolas brancas e 7 pretas, total \(N=15\). Retira-se \(n=5\). Quer-se exatamente \(k=3\) brancas.
Aplicando a fórmula:
\(P(X=3)=\dfrac{\binom{8}{3}\,\binom{7}{2}}{\binom{15}{5}}\)
Calcule: \(\binom{8}{3}=56,\ \binom{7}{2}=21,\ \binom{15}{5}=3003\)
Logo \(P(X=3)=\dfrac{56\cdot21}{3003}=\dfrac{1176}{3003}\approx0{,}3919\) (≈39,19%).