Em uma fila de n pessoas, de quantas maneiras é possível posicionar duas pessoas de modo que haja exatamente k pessoas entre elas?

2(n - k - 1)

Explicação:
Há n - k - 1 posições possíveis para a pessoa mais à esquerda quando se exige exatamente k pessoas entre as duas, e duas ordens relativas, portanto 2(n - k - 1) pares ordenados de posições.
Se considerarmos permutações completas, os demais n-2 ocupantes podem organizar-se em (n-2)! maneiras, então os casos favoráveis são 2(n - k - 1)(n-2)! e a probabilidade correspondente é \( \dfrac{2(n - k - 1)(n-2)!}{n!} = \dfrac{2(n - k - 1)}{n(n-1)}\).

Exemplo:
Se n = 8 e k = 2, então \(n - k - 1 = 5\), posições ordenadas = \(2\cdot5 = 10\).
Casos favoráveis = \(10\cdot6! = 10\cdot720 = 7200\).
Total = \(8! = 40320\).
Probabilidade = \(\dfrac{7200}{40320} = \dfrac{5}{28}\).