Flashcard FC785208
Como usar a razão entre duas probabilidades combinatórias para eliminar fatores e obter relação entre as quantidades?
Probabilidade
Instituto AOCP · 2024
Como usar a razão entre duas probabilidades combinatórias para eliminar fatores e obter relação entre as quantidades?
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Resposta
Método: Divida as duas probabilidades escritas com combinações, assim cancelam-se fatores comuns, ficando \( \dfrac{I-2}{N-2}=\dfrac{q}{p}\).Suponha \(p=\dfrac{\binom{I}{2}}{\binom{N}{2}}\) e \(q=\dfrac{\binom{I}{3}}{\binom{N}{3}}\).
Então \(\dfrac{q}{p}=\dfrac{\binom{I}{3}/\binom{N}{3}}{\binom{I}{2}/\binom{N}{2}} =\dfrac{\frac{I(I-1)(I-2)}{6}}{\frac{N(N-1)(N-2)}{6}}\cdot\frac{\frac{N(N-1)}{2}}{\frac{I(I-1)}{2}} =\dfrac{I-2}{N-2}.\)
Logo \(I=\dfrac{q}{p}(N-2)+2\).
Substitua em \(I(I-1)=p\,N(N-1)\) e resolva para \(N\).
Exemplo: escolha \(N=8,\ I=5\).
Calcule \(p=\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}}=\dfrac{10}{28}=\dfrac{5}{14}\), e \(q=\dfrac{\binom{5}{3}}{\binom{8}{3}}=\dfrac{10}{56}=\dfrac{5}{28}\).
Dividindo, \(\dfrac{q}{p}=\dfrac{5/28}{5/14}=\dfrac{1}{2}\), portanto \(\dfrac{I-2}{N-2}=\dfrac{1}{2}\), verifica-se \(5-2=\tfrac{1}{2}(8-2)\).
Esse procedimento fornece uma relação linear entre \(I\) e \(N\), depois permite resolver os valores inteiros substituindo na equação combinatória.
Veja como foi cobrado:
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