Como se calcula a probabilidade de obter, ao escolher n elementos sem reposição, pelo menos k itens de um tipo usando análise combinatória?

Somando os casos exatos, a probabilidade é a razão entre o número de escolhas favoráveis e o total.

Fórmula geral:
\( \text{favoráveis}=\sum_{i=k}^{n} \binom{A}{i}\binom{B}{\,n-i\,} \), onde A é o número de itens do tipo desejado e B o número dos demais,
\( \text{total}=\binom{A+B}{n} \),
\( P=\dfrac{\text{favoráveis}}{\text{total}} \).

Exemplo:
Suponha 30 cartas, 6 vermelhas (A=6) e 24 não vermelhas (B=24). Ao escolher \(n=4\), a probabilidade de obter pelo menos \(k=2\) vermelhas é
\( \text{favoráveis}=\binom{6}{2}\binom{24}{2}+\binom{6}{3}\binom{24}{1}+\binom{6}{4}\binom{24}{0} \)
\( =15\cdot276+20\cdot24+15\cdot1=4140+480+15=4635 \)
\( \text{total}=\binom{30}{4}=27405 \)
\( P=\dfrac{4635}{27405}\approx0{,}1691\) (≈16,91%).