Flashcard FC785220
Qual é a covariância entre as combinações lineares \(U=\underline{c}_1'X\) e \(V=\underline{c}_2'Y\) em termos de \(\underline{c}_1,\underline{c}_2\) e \(\Sigma_{12}\)?
Variáveis Aleatórias
Instituto AOCP · 2024
Qual é a covariância entre as combinações lineares \(U=\underline{c}_1'X\) e \(V=\underline{c}_2'Y\) em termos de \(\underline{c}_1,\underline{c}_2\) e \(\Sigma_{12}\)?
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Resposta
\(\operatorname{Cov}(U,V)=\underline{c}_1'\,\Sigma_{12}\,\underline{c}_2\).Como \(U=\underline{c}_1'X\) e \(V=\underline{c}_2'Y\), aplica-se a propriedade bilinear da covariância, logo \( \operatorname{Cov}(U,V)=\underline{c}_1'\,\operatorname{Cov}(X,Y)\,\underline{c}_2=\underline{c}_1'\,\Sigma_{12}\,\underline{c}_2\).
Exemplo:
Seja \(\underline{c}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\), \(\underline{c}_2=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix}\) e \(\Sigma_{12}=\begin{pmatrix}1 & 0.5\\[2pt]0.2 & -0.1\end{pmatrix}\).
Calcule \(\Sigma_{12}\,\underline{c}_2=\begin{pmatrix}1 & 0.5\\[2pt]0.2 & -0.1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2.5\\[2pt]0.7\end{pmatrix}\).
Então \(\underline{c}_1'(\Sigma_{12}\,\underline{c}_2)=(1,2)\begin{pmatrix}2.5\\[2pt]0.7\end{pmatrix}=2.5+1.4=3.9\).
Portanto \(\operatorname{Cov}(U,V)=3.9\).
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