Como se obtêm \(E(X+Y)\) e \(\mathrm{Var}(X+Y)\) quando \(X\) e \(Y\) são independentes, e quais são \(E\) e \(\mathrm{Var}\) para \(X\sim\chi^{2}(v)\) e \(Y\sim\Gamma(\alpha,\beta

Resposta:
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y),\quad \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y).\)
Para \(X\sim\chi^{2}(v)\): \(E(X)=v,\quad \mathrm{Var}(X)=2v.\)
Para \(Y\sim\Gamma(\alpha,\beta)\) com taxa \(\beta\): \(E(Y)=\dfrac{\alpha}{\beta},\quad \mathrm{Var}(Y)=\dfrac{\alpha}{\beta^{2}}.\)

Explicação e exemplo
Se \(X\) e \(Y\) são independentes, as médias somam e as variâncias somam, porque a covariância é zero, então \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) e \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
As fórmulas específicas para qui-quadrado e Gama permitem calcular diretamente as medidas de centro e dispersão.

Exemplo:
Considere \(X\sim\chi^{2}(4)\) e \(Y\sim\Gamma(3,2)\) com taxa \(\beta=2\).
\(E(X)=4,\quad \mathrm{Var}(X)=2\cdot4=8.\)
\(E(Y)=\dfrac{3}{2}=1{,}5,\quad \mathrm{Var}(Y)=\dfrac{3}{2^{2}}=\dfrac{3}{4}=0{,}75.\)
Logo para \(W=X+Y\): \(E(W)=4+1{,}5=5{,}5,\quad \mathrm{Var}(W)=8+0{,}75=8{,}75.\)