Flashcard FC785233
Na fórmula e(\hat{\theta}) = LI(\theta)/Var[\hat{\theta}], o que é LI(\theta) e o que significa e(\hat{\theta}) = 1?
Característica dos Estimadores
Instituto AOCP · 2026
Na fórmula e(\hat{\theta}) = LI(\theta)/Var[\hat{\theta}], o que é LI(\theta) e o que significa e(\hat{\theta}) = 1?
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Resposta
LI(θ) é o Limite Inferior de Cramér‑Rao, geralmente \(LI(\theta)=1/I(\theta)\); e(\hat{\theta})=1 significa que o estimador atinge esse limite e é eficiente.Explicação:
LI(θ) representa o menor valor teórico que a variância de um estimador não viesado pode alcançar sob condições regulares, Var[\hat{\theta}] é a variância real do estimador, a eficiência \(e(\hat{\theta})=\frac{LI(\theta)}{Var[\hat{\theta}]}\) satisfaz \(0< e(\hat{\theta})\le 1\), e quando \(e(\hat{\theta})=1\) temos \(Var[\hat{\theta}]=LI(\theta)\), ou seja o estimador alcança o CRLB e é (mínima variância) eficiente.
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)\) com \(\sigma^2\) conhecido. A média amostral \(\bar X\) é não viesada e
\(Var(\bar X)=\sigma^2/n\). A informação de Fisher para \(\mu\) é \(I(\mu)=n/\sigma^2\), então
\(LI(\mu)=1/I(\mu)=\sigma^2/n\). Assim
\(e(\bar X)=\dfrac{LI(\mu)}{Var(\bar X)}=\dfrac{\sigma^2/n}{\sigma^2/n}=1\), logo \(\bar X\) é eficiente.
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