Flashcard FC785234
Quais são os estimadores UMVU para μ e σ² em uma amostra da distribuição Normal com parâmetros desconhecidos?
Característica dos Estimadores
Instituto AOCP · 2024
Quais são os estimadores UMVU para μ e σ² em uma amostra da distribuição Normal com parâmetros desconhecidos?
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Resposta
μ: \( \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\), σ²: \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\).Explicação:
O par \((\bar{X},\sum (X_i-\bar{X})^2)\) é estatística suficiente e completa para \(N(\mu,\sigma^2)\), portanto pelo Teorema de Lehmann e Scheffé quaisquer estimadores não viciados que sejam função dessa estatística são UMVU.
\(\bar{X}\) é não viciado, tem \(\mathrm{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n\).
\(\hat{\sigma}^2\) usa a correção por \(n-1\) para ser não viciado, pois \(E[\hat{\sigma}^2]=\sigma^2\).
Exemplo:
Considere uma amostra de tamanho \(n=5\) com valores \(2,3,4,5,6\).
\(\bar{X}=\dfrac{2+3+4+5+6}{5}=4\).
Desvios ao quadrado: \((2-4)^2=4,\;(3-4)^2=1,\;(4-4)^2=0,\;(5-4)^2=1,\;(6-4)^2=4\).
Soma dos quadrados \(=10\).
\(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X})^2=\dfrac{10}{4}=2{,}5\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/784033
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