Qual é o viés, a variância e o MSE do estimador de máxima verossimilhança de \(\sigma^2\) quando \(\mu\) é desconhecida em amostra normal?

Resposta

Viés: \(-\dfrac{\sigma^2}{n}\). Variância: \(\dfrac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}\). MSE: \(\dfrac{(2n-1)\sigma^4}{n^2}\).

Explicação:
O EMV é \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\), e sabe-se que \( \dfrac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1}\).
Usando \(E[\chi^2_{n-1}]=n-1\) segue \(E[\hat{\sigma}^2]=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2\), portanto o viés é \(E[\hat{\sigma}^2]-\sigma^2=-\dfrac{\sigma^2}{n}\).
Como \(\mathrm{Var}(\chi^2_{n-1})=2(n-1)\), tem-se \(\mathrm{Var}(\hat{\sigma}^2)=\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^2 2(n-1)=\dfrac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}\).
O MSE é \(\mathrm{Var}(\hat{\sigma}^2)+\text{viés}^2=\dfrac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}+\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^2=\dfrac{(2n-1)\sigma^4}{n^2}\).

Exemplo:
Se \(n=10\) e \(\sigma^2=9\):
\(E[\hat{\sigma}^2]=\dfrac{9\cdot(10-1)}{10}=8.1\), viés \(=8.1-9=-0.9\).
\(\mathrm{Var}(\hat{\sigma}^2)=\dfrac{2(9)\,9^2}{10^2}=\dfrac{1458}{100}=14.58\).
\(\mathrm{MSE}=\dfrac{(19)\,9^2}{10^2}=\dfrac{1539}{100}=15.39\).