Qual é o estimador de máxima verossimilhança da variância e como ajustá‑lo para obter um estimador não viesado?

\(\hat{\sigma}^2_{MLE}\) = \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\), é viesado; o estimador não viesado é \(s^2\)=\(\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\).

Explicação, a utilização de \(\bar{X}\) reduz os graus de liberdade em 1, resulta em \(E[\hat{\sigma}^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2\), portanto multiplica‑se \(\hat{\sigma}^2\) por \(\frac{n}{n-1}\) para obter \(s^2\) com \(E[s^2]=\sigma^2\).

Exemplo:
Considere \(n=3\) com observações \(2,4,6\).
\(\bar{X}=\frac{2+4+6}{3}=4\).
\(\hat{\sigma}^2_{MLE}=\frac{1}{3}\big((2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2\big)=\frac{8}{3}\).
O estimador não viesado é \(s^2=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}=4\), equivalente a \(s^2=\frac{1}{2}\sum (X_i-\bar{X})^2\).