Qual é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \(\theta\) em uma distribuição de Poisson?

O EMV é a média amostral: \( \hat{\theta}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\).

Da função de verossimilhança \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \frac{\theta^{x_i}e^{-\theta}}{x_i!}\), a log‑verossimilhança é \(\ell(\theta)=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\log\theta - n\theta + C\).
Derivando, \(\dfrac{d\ell}{d\theta}=\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{\theta}-n\). Igualando a zero obtém-se \(\hat{\theta}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), que respeita \(\theta>0\).

Exemplo prático:
Suponha contagens diárias de atendimentos: \(x=[2,3,1,4,0]\), \(n=5\).
Calcula-se \( \hat{\theta}=\dfrac{2+3+1+4+0}{5}=\dfrac{10}{5}=2\).
Logo, o EMV para \(\theta\) é 2.