Flashcard FC785238
Qual o estimador de máxima verossimilhança para \(\sigma^2\) em uma amostra Normal e qual o estimador UMVU para \(\sigma^2\)?
Característica dos Estimadores
Instituto AOCP · 2022
Qual o estimador de máxima verossimilhança para \(\sigma^2\) em uma amostra Normal e qual o estimador UMVU para \(\sigma^2\)?
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Resposta
\(\widehat{\sigma}^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n}\) e \(s^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}\).Explicação completa:
O estimador de Máxima Verossimilhança para \(\sigma^2\) na Normal é \(\widehat{\sigma}^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n}\).
Ele é viciado, pois \(E[\widehat{\sigma}^2]=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2\), então subestima \(\sigma^2\).
O estimador \(s^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}\) é não viciado e, como \((n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{\,n-1}\) e a soma de quadrados é estatística suficiente e completa, pelo teorema de Lehmann–Scheffé, \(s^2\) é o UMVU para \(\sigma^2\).
Exemplo:
Considere uma amostra com \(n=5\) e dados \(2,4,3,5,6\).
Calcula-se \(\bar x=\frac{2+4+3+5+6}{5}=4\).
As somas dos quadrados: \(\sum (x_i-\bar x)^2=4+0+1+1+4=10\).
Então
\(\widehat{\sigma}^2=\dfrac{10}{5}=2\),
\(s^2=\dfrac{10}{4}=2.5\).
A diferença mostra que \(\widehat{\sigma}^2\) tende a subestimar, enquanto \(s^2\) corrige o viés dividindo por \(n-1\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/784037
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