Flashcard FC785239
Qual condição do Teorema de Fatorização garante que uma estatística \(T(X)\) seja suficiente para \(\theta\)?
Característica dos Estimadores
Instituto AOCP · 2024
Qual condição do Teorema de Fatorização garante que uma estatística \(T(X)\) seja suficiente para \(\theta\)?
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Resposta
Que a verossimilhança se escreva como \(L(\theta;x)=g(T(x),\theta)\,h(x)\), com \(h(x)\) não dependendo de \(\theta\).Explicação:
Pelo Teorema de Fatorização, se for possível separar a função de verossimilhança em um fator que dependa de \(\theta\) apenas via \(T(x)\) e outro fator que não dependa de \(\theta\), então \(T\) retém toda a informação sobre \(\theta\) contida na amostra, logo é suficiente.
Exemplo:
Considere uma amostra iid de uma distribuição Exponencial com parâmetro \(\theta>0\), densidade \(f(x;\theta)=\theta e^{-\theta x}\), \(x\ge0\).
Então
\(L(\theta;x)=\prod_{i=1}^n \theta e^{-\theta x_i}=\theta^n e^{-\theta\sum_{i=1}^n x_i}\).
Como toda a dependência em \(\theta\) ocorre via \(T=\sum_{i=1}^n x_i\), podemos escrever \(L(\theta;x)=g(T(x),\theta)\,h(x)\) e assim \(T\) é suficiente para \(\theta\).
Veja como foi cobrado:
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