Qual o viés do estimador de variância amostral \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\)?

Viés: \( -\dfrac{\sigma^2}{n}\).

Explicação:
Temos \(E\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=(n-1)\sigma^2\), portanto
\(E[\hat{\sigma}^2]=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2\), e o viés é
\(E[\hat{\sigma}^2]-\sigma^2=-\dfrac{\sigma^2}{n}\).

Além disso, a variância do estimador é
\(\mathrm{Var}(\hat{\sigma}^2)=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4\), e o MSE é
\(\mathrm{MSE}(\hat{\sigma}^2)=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4+\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^2=\dfrac{2n-1}{n^2}\sigma^4\).

Exemplo:
Suponha \(n=10\) e \(\sigma^2=1\).
Viés: \( -\dfrac{1}{10}=-0.1\).
Variância: \(\dfrac{2(9)}{10^2}\cdot 1^2=\dfrac{18}{100}=0.18\).
MSE: \(0.18+(-0.1)^2=0.18+0.01=0.19\).