Ao padronizar uma média amostral, quando a estatística segue a Normal Padrão e quando segue a t de Student?

Se σ conhecido: Normal Padrão \(N(0,1)\).
Se σ substituído por s: t de Student com \(n-1\) graus de liberdade.

Explicação: padronizar com a verdadeira variância elimina apenas a componente normal, gerando \(N(0,1)\). Ao usar o desvio amostral \(s\), introduz‑se variabilidade adicional pela estimação da variância, e a razão entre uma normal e a raiz de uma qui‑quadrado normalizada produz a t de Student com \(n-1\) graus.

Exemplo:
Suponha \(n=16\), \(\bar X=52\), hipótese \(\mu=50\), e se \(\sigma=3\) conhecido então
\(Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\dfrac{52-50}{3/\sqrt{16}}=\dfrac{2}{3/4}=2{,}6667\), segue \(N(0,1)\).
Se \(\sigma\) é desconhecido e \(s=4\), então
\(T=\dfrac{\bar X-\mu}{s/\sqrt{n}}=\dfrac{52-50}{4/4}=2\), segue \(t_{15}\).