Se \(Z_1,\dots,Z_n\) são independentes com \(N(0,1)\), qual é a distribuição de \(\sum_{i=1}^n Z_i^2\) e quantos graus de liberdade ela tem?

\(\chi^2_n\) com n graus de liberdade.

Se cada \(Z_i\sim N(0,1)\) e são independentes, a soma dos quadrados segue a distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, essa é a definição da \(\chi^2\).
Além disso \(E\!\left[\sum_{i=1}^n Z_i^2\right]=n\) e \(\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n Z_i^2\right)=2n\).

Exemplo: Para \(n=4\), seja \(U=\sum_{i=1}^4 Z_i^2\), então \(U\sim\chi^2_4\).
O quantil superior a 5% é \(9.488\), logo \(P(U>9.488)=1-F_{\chi^2_4}(9.488)=0.05\).
Também \(E[U]=4\) e \(\operatorname{Var}(U)=8\).