Flashcard FC785266
Qual é a distribuição condicional de \(y_i\) dado \(x_i\) no modelo de regressão linear simples com \(\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)\)?
Regressão
Instituto AOCP · 2026
Qual é a distribuição condicional de \(y_i\) dado \(x_i\) no modelo de regressão linear simples com \(\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)\)?
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Resposta
\(y_i\mid x_i \sim N(\beta_0+\beta_1 x_i,\sigma^2)\).Porque \(y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i\), condicionado em \(x_i\) o termo \(\beta_0+\beta_1 x_i\) é constante, \(\varepsilon_i\) é normal com média 0 e variância \(\sigma^2\), portanto a soma é normal com média \(\beta_0+\beta_1 x_i\) e variância \(\sigma^2\).
Exemplo:
Considere a relação entre horas de estudo e nota, com \(\beta_0=40\), \(\beta_1=8\), \(\sigma^2=16\). Para \(x=2\) horas, temos
\(E(y\mid x=2)=40+8\cdot2=56\),
\(Var(y\mid x=2)=16\),
logo \(y\mid x=2\sim N(56,16)\).
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