Como se calculam a média amostral, a variância pelo estimador de máxima verossimilhança e a autocorrelação de defasagem k a partir de uma série observada?

Média: \( \mu=\dfrac{1}{n}\sum_{t=1}^n Z_t \)
Variância (EMV): \( \sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{t=1}^n (Z_t-\mu)^2 \)
Autocovariância defasagem k: \( \gamma_k=\dfrac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-k}(Z_t-\mu)(Z_{t+k}-\mu) \)
Autocorrelação defasagem k: \( \rho_k=\dfrac{\gamma_k}{\gamma_0} \), com \( \gamma_0=\sigma^2 \)

Explicação e exemplo:
Considere a série \( \{3,5,4,6,8\} \), \(n=5\).
Média: \( \mu=\dfrac{3+5+4+6+8}{5}=\dfrac{26}{5}=5{,}2 \).
Variância (EMV): calcule os quadrados das diferenças e some, \( (3-5{,}2)^2=4{,}84,\ (5-5{,}2)^2=0{,}04,\ (4-5{,}2)^2=1{,}44,\ (6-5{,}2)^2=0{,}64,\ (8-5{,}2)^2=7{,}84 \).
Soma \(=14{,}8\), então \( \sigma^2=\dfrac{14{,}8}{5}=2{,}96 \).
Autocovariância para \(k=2\): calcule os produtos para \(t=1\) a \(3\):
\( (3-5{,}2)(4-5{,}2)=2{,}64,\ (5-5{,}2)(6-5{,}2)=-0{,}16,\ (4-5{,}2)(8-5{,}2)=-3{,}36 \).
Soma \(= -0{,}88\), então \( \gamma_2=\dfrac{-0{,}88}{5}=-0{,}176 \).
Autocorrelação \( \rho_2=\dfrac{\gamma_2}{\gamma_0}=\dfrac{-0{,}176}{2{,}96}\approx -0{,}0595 \).