Quais são os três gráficos essenciais em PCA e qual a função principal de cada um?

Scree plot: mostra os autovalores \( \lambda_i \) em ordem decrescente e orienta a escolha do número de componentes, Plot de scores: projeta as observações nos componentes principais para visualizar agrupamentos e outliers, Biplot: combina scores e loadings, indicando quais variáveis contribuem para cada componente e a direção das associações.

Explicação

Scree plot, apresenta os autovalores \( \lambda_i \); a fração de variância explicada pelo i‑ésimo componente é \( \lambda_i / \sum_j \lambda_j \).

Plot de scores, cada ponto é uma observação no espaço dos componentes principais, útil para identificar clusters e observações atípicas.

Biplot, mostra pontos (scores) e vetores (loadings), o comprimento dos vetores indica a contribuição da variável e o ângulo entre vetores indica correlação entre variáveis.

Exemplo

Considere dados de 50 cidades com quatro indicadores: renda, escolaridade, desemprego e mortalidade. Após PCA obtemos autovalores \( \lambda_1=2.4,\; \lambda_2=1.2,\; \sum_j\lambda_j=4.0 \).

Percentual de variância do PC1: \( \frac{\lambda_1}{\sum_j\lambda_j}=\frac{2.4}{4.0}=0.60 \) (60%).

No scree plot vemos que os dois primeiros PCs explicam a maior parte da variância, no plot de scores aparecem dois grupos de cidades (por exemplo, litoral vs interior), no biplot os vetores de renda e escolaridade apontam na mesma direção do PC1, indicando contribuição positiva conjunta, já o vetor de desemprego aponta em direção oposta, indicando associação negativa relativa aos outros indicadores.