Em PCA, como se obtêm os componentes principais a partir da matriz de covariância?

Projeta-se os dados nos autovetores de Σ, os autovalores são as variâncias dos componentes, e \(Y=P^\top X\) com \(\Sigma=P\Lambda P^\top\).

Explicação:
Calcule a autodescomposição \(\Sigma=P\Lambda P^\top\), as colunas de P são os autovetores, que definem os novos eixos ortogonais, os autovalores em Λ são as variâncias dos componentes, e os componentes principais são \(Y=P^\top X\), não correlacionados e ordenados por variância decrescente.

Exemplo:
Considere \(\Sigma=\begin{pmatrix}4 & 1.2\\[4pt]1.2 & 1\end{pmatrix}\).
Resolvendo \(|\Sigma-\lambda I|=0\) obtém-se \(\lambda_1\approx 4.4215\), \(\lambda_2\approx 0.5785\).
Autovetores normalizados, por exemplo, \(p_1\approx(0.9434,0.3312)^\top\), \(p_2\approx(0.3309,-0.9436)^\top\).
Então \(P=[p_1\ p_2]\) e \(Y=P^\top X\).
Para uma observação centrada \(X=(2,0.5)^\top\),
\(y_1\approx 0.9434\cdot2+0.3312\cdot0.5\approx 2.0524\),
\(y_2\approx 0.3309\cdot2-0.9436\cdot0.5\approx 0.19\).
Assim o primeiro componente tem variância \(\approx\lambda_1\) e representa a direção de maior variabilidade.