Flashcard FC785292
Como se obtém a expressão da componente principal que explica mais variância na PCA?
Análise Multivariada
Instituto AOCP · 2024
Como se obtém a expressão da componente principal que explica mais variância na PCA?
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Resposta
Obtem‑se pelo autovetor correspondente ao maior autovalor; as entradas desse autovetor são os coeficientes da combinação linear.Explicação completa, Exemplo:
1) Calcule a matriz de covariância S das variáveis.
2) Encontre os autovalores e autovetores de S, resolvendo \( |S-\lambda I|=0 \) e \((S-\lambda I)v=0\).
3) Escolha o autovetor \(v_1\) associado ao maior autovalor \(\lambda_1\). As entradas de \(v_1=(w_1,w_2,\dots,w_p)'\) são os pesos da componente principal, normalmente normalizados para norma 1.
Assim, a primeira componente principal é \(Y_1 = w_1 X_1 + w_2 X_2 + \cdots + w_p X_p\).
Exemplo numérico simples:
Considere \(S=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\).
Determinante: \(|S-\lambda I|=(2-\lambda)(1-\lambda)-1=\lambda^2-3\lambda+1\).
Autovalores: \(\lambda_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\), maior \(\lambda_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2{,}618\).
Autovetor para \(\lambda_1\): \((2-\lambda_1)x + y =0\), logo \(y=(\lambda_1-2)x\approx0{,}618x\).
Escolhendo \(x=1\), vetor proporcional \((1,0{,}618)\), normalizando para norma 1 obtém-se \(v_1\approx(0{,}85065,0{,}52573)\).
Portanto \(Y_1 \approx 0{,}85065\,X_1 + 0{,}52573\,X_2\).
Veja como foi cobrado:
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