A partir de \( \ln\!\left(\dfrac{\pi}{1-\pi}\right)=\beta_0+\beta_1 x\), como se expressa \(\pi(x)\) e o que representa \(e^{\beta_1}\)?

\( \pi(x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1 x}}{1+e^{\beta_0+\beta_1 x}}\), e \(e^{\beta_1}\) é o fator pelo qual as odds se multiplicam ao aumentar \(x\) em uma unidade.

Explicação completa:
Aplicando exponenciação ao logit obtém-se as odds, \( \dfrac{\pi}{1-\pi}=e^{\beta_0+\beta_1 x}\). Isolando \(\pi\) vem a função logística, que garante \(0<\pi<1\).
O parâmetro \(\beta_1\) atua sobre as log-odds, portanto um aumento unitário em \(x\) adiciona \(\beta_1\) às log-odds, o que equivale a multiplicar as odds por \(e^{\beta_1}\).

Exemplo: suponha \(\beta_0=-2\) e \(\beta_1=0{,}5\). Para \(x=3\):
\( \text{logit}=\beta_0+\beta_1 x=-2+0{,}5\cdot 3=-0{,}5\).
\( \text{odds}=e^{-0{,}5}\approx 0{,}607\).
\( \pi=\dfrac{e^{-0{,}5}}{1+e^{-0{,}5}}\approx \dfrac{0{,}607}{1+0{,}607}\approx 0{,}378\).
Se \(x\) aumenta em 1, as odds são multiplicadas por \(e^{0{,}5}\approx 1{,}65\).