Qual é a razão das chances no modelo logístico em termos de \(\underline{x}'\underline{\beta}\) e como interpretar \(\beta_j\)?

Resposta

A razão das chances é \(e^{\underline{x}'\underline{\beta}}\), e um aumento unitário em \(X_j\) multiplica as chances por \(e^{\beta_j}\).

Explicação:
Partindo de \(p(\underline{x})=\dfrac{1}{1+e^{-\underline{x}'\underline{\beta}}}\), tem-se a razão das chances \( \dfrac{p}{1-p}=e^{\underline{x}'\underline{\beta}}\).
Assim, se \(\underline{x}\) muda para \(\underline{x}+\mathbf{e}_j\) (aumenta-se \(X_j\) em 1), a razão das chances é multiplicada por \(e^{\beta_j}\).

Considere \(y=\beta_0+\beta_1 x\) com \(\beta_0=-1\) e \(\beta_1=0.5\).
Para \(x=0\): odds \(=e^{-1}=0.3679\), \(p=\dfrac{0.3679}{1+0.3679}=0.269\).
Para \(x=1\): odds \(=e^{-1+0.5}=e^{-0.5}=0.6065\), \(p=\dfrac{0.6065}{1+0.6065}=0.378\).
Razão entre odds: \(\dfrac{0.6065}{0.3679}=e^{0.5}\approx1.6487\), portanto um aumento unitário em \(x\) multiplica as chances por \(e^{0.5}\).