Que teorema justifica que a proporção amostral de variáveis Bernoulli é aproximadamente Normal para n grande?

Teorema Central do Limite de De Moivre-Laplace.

Explicação:
Se \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\), então \(\displaystyle\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} N(0,1)\), e portanto \(\displaystyle\hat{p}=\frac{X}{n}\approx N\!\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\).
Isso justifica usar o escore Z no intervalo de confiança \(\hat{p}\pm Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\), quando \(n\) é grande e \(np\) e \(n(1-p)\) são razoavelmente maiores que 5.

Exemplo:
Controle de qualidade, inspecionam-se \(n=200\) peças e encontram \(X=30\) defeituosas, então \(\hat{p}=30/200=0.15\).
\(SE=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0.15\cdot0.85}{200}}\approx0.0253\).
Intervalo de 95%: \(\;0.15\pm 1.96\cdot0.0253\approx(0.1005,0.1995)\).
Verifica-se \(np=30\) e \(n(1-p)=170\), ambos maiores que 5, condição atendida.