Flashcard FC785304
Que teorema garante que, para X_i i.i.d. Bernoulli(p), a soma padronizada \( \dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}} \) converge em distribuição para \(N(0,1)\) quando \(n\to\infty\)?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
Instituto AOCP · 2024
Que teorema garante que, para X_i i.i.d. Bernoulli(p), a soma padronizada \( \dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}} \) converge em distribuição para \(N(0,1)\) quando \(n\to\infty\)?
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Resposta
Teorema Central do Limite, caso De Moivre–Laplace.Explicação:
Para \(X_i\) i.i.d. Bernoulli(\(p\)), tem-se \(E(X_i)=p\), \(\mathrm{Var}(X_i)=pq\), logo \(E(S_n)=np\) e \(\mathrm{Var}(S_n)=npq\). O Teorema Central do Limite implica
\( \displaystyle \frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\xrightarrow{d}N(0,1)\) quando \(n\to\infty\).
Na prática verifica-se que \(np\) e \(nq\) não sejam muito pequenos, e ao aproximar probabilidades pontuais usar correção de continuidade.
Exemplo:
Considere \(p=0.3\), \(n=100\). Então \(np=30\), \(npq=21\), \(\sqrt{npq}\approx4.583\).
Para aproximar \(P(20\le S_n\le40)\) com correção de continuidade, use \(P(19.5\le S_n\le40.5)\).
\(z_1=\dfrac{19.5-30}{4.583}\approx-2.29,\quad z_2=\dfrac{40.5-30}{4.583}\approx2.29\).
Assim \(P(20\le S_n\le40)\approx \Phi(2.29)-\Phi(-2.29)\approx0.9890-0.0110\approx0.978\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/784103
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