Flashcard FC785305
O que afirma a Lei dos Grandes Números de Bernoulli sobre a convergência da proporção de sucessos em ensaios de Bernoulli independentes?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
Instituto AOCP · 2024
O que afirma a Lei dos Grandes Números de Bernoulli sobre a convergência da proporção de sucessos em ensaios de Bernoulli independentes?
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Resposta
\(S_n/n \xrightarrow{p} \theta\).
Cada \(X_i\) tem \(E[X_i]=\theta\) e \(\mathrm{Var}(X_i)=\theta(1-\theta)\), pela independência \(\mathrm{Var}(S_n)=n\theta(1-\theta)\) e \(\mathrm{Var}\!\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{\theta(1-\theta)}{n}\).
Pela desigualdade de Chebyshev, \(\displaystyle P\!\left(\left|\frac{S_n}{n}-\theta\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{\theta(1-\theta)}{n\varepsilon^2}\), que tende a zero quando \(n\to\infty\), portanto há convergência em probabilidade.
Exemplo:
Suponha proporção de itens defeituosos \(\theta=0.05\). Para \(\varepsilon=0.01\):
\(\theta(1-\theta)=0.05\times0.95=0.0475\).
Se \(n=1000\), \(\;P\big(|S_n/n-0.05|\ge0.01\big)\le\frac{0.0475}{1000\times0.0001}=0.475\).
Se \(n=10000\), \(\;P\big(|S_n/n-0.05|\ge0.01\big)\le\frac{0.0475}{10000\times0.0001}=0.0475\).
Assim, ao aumentar \(n\), a probabilidade de desvio maior que \(\varepsilon\) diminui, ilustrando a convergência em probabilidade da proporção para \(\theta\).
Veja como foi cobrado:
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