Por que a estatística \(T=\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\) segue a distribuição t de Student para amostras normais?

t de Student com \(n-1\) graus de liberdade.

Explicação:
\((\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\sim N(0,1)\),
\((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{\,n-1}\), e \(\bar X\) é independente de \(S^2\).
Logo, escrevendo \(Z=(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\) e \(U=(n-1)S^2/\sigma^2\), tem-se
\(T=\dfrac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}\sim t_{\,n-1}\).

exemplo:
Suponha \(n=9\), \(\bar X=5{,}2\), \(\mu=5\), \(S=0{,}8\).
\(T=\dfrac{5{,}2-5}{0{,}8/\sqrt{9}}=\dfrac{0{,}2}{0{,}8/3}=\dfrac{0{,}2}{0{,}2667}\approx0{,}75\),
portanto esse valor deve ser comparado com a distribuição \(t_8\).